Александр Арнольдович Кошкин родился в 1952 году в Москве. Учился в Московской художественной средней школе при МГХИ имени В.И.Сурикова (1963-1970), затем — в самом МГХИ (1970-1976). Окончил факультет графики (мастерская плаката). В качестве диплома представил плакат к балету И.Стравинского «Петрушка» и серию иллюстраций к философской сказке Антуана де Сент-Экзюпери «Маленький принц».
Иллюстрировать книги начал ещё в первой половине 1970-х годов. Как вспоминает художник: «Остался в памяти первый заработок — 7 рублей 30 копеек — за пару картинок. По тем временам совсем не плохие деньги».
Ещё учась на третьем курсе института, Кошкин сделал иллюстрации к «Золотому ключику» А.Н.Толстого и «Трём сёстрам» А.П.Чехова, за что получил «удовлетворительно» (как студент вуза) и снискал благосклонность искусствоведов (как художник).
С 1979 года — член Московского отделения Союза художников России.
В 1992-1993 гг. — в жюри Конкурса на лучшую книгу года при Комитете по печати России.
В 1992-1995 гг. — в Координационном Совете авторов (Всероссийское агентство авторских прав).
Член Совета по детской книге России — Национальной секции России (RBBY) в Международном совете по детской книге (IBBY). Состоит в Правлении, а также в Художественном совете Секции художников книги Московского Союза художников.
В 2001 году Александру Арнольдовичу Кошкину было присвоено звание заслуженного художника Российской Федерации
В 2004-м художник номинировался от России на Международную Золотую Медаль имени Ханса Кристиана Андерсена; в том же году получил Почётный Диплом IBBY.
С 2005 года — доцент кафедры графических искусств МГХПУ им. С.Г.Строганова.

P.S. От себя хочу добавить, что кому-то возможно его работы не понравятся, ведь стиль у него довольно своеобразный. Однако его иллюстрации это часть моего детства, я выросла на его книжках. Его работы в сети оказалось искать довольно трудно, большинство представлены просто сканами книжек.